teorija upravljanja Archives - Automatika.rs

Osnove Lambda podešavanja PI regulatora

Milica Đekić — Mon, 20 May 2013 22:00:00 +0000

Lambda podešavanje je oblik internog upravljanja modelom koji obrađuje proporcionalno-integralno (PI) upravljanje sa sposobnošću da se generiše glatko upravljanje koje ne osciluje pri odzivu na promenu u željenoj vrednosti. Njegov naziv je izveden iz grčkog slova lambda (λ), koje označava parametre performansi definisane od strane korisnika koji diktiraju koliko dugo regulator može da provede na zadatku, pomerajući procesnu promenjivu iz tačke A u tačku B.

Baš poput njegovog poznatog rođaka, Ziegler-Nichols podešavanja, lambda podešavanje uključuje skup formula ili pravila podešavanja koji diktiraju vrednost PI parametara koji su potrebni za postizanje željenih performansi regulatora. Prvi korak u njihovoj primeni jeste određivanje u kojoj meri i koliko brzo proces odgovara na rad regulatora (Slika 1).

Slika 1. Test ispupčenja

Test ispupčenja

Ovaj test u 9 koraka, takođe poznat i kao test reakcije krive otvorene sprege ili odskočni test, daje PI regulatoru sve što on treba da zna o ponašanju neoscilatornog procesa sa ciljem da upravlja njime:

Isključite regulator, prebacujući ga u manuelni režim.
Sačekajte dok se procesne promenjive ne smire na vrednosti stabilnog stanja.
Ručno “ispupčite” ili “iskoračite” proces, terajući upravljanje naglo gore za B% koliko god je potrebno da se kretanje procesne promenjive učini prihvatljivim, ali ne preteranim.
Snimite reakciju procesne promenjive ili odskočni odziv na dijagram, kao što je dato na Slici 1, počinjuci od vremena kada je ispupčenje bilo primenjeno (korak 1) i završavajući kada se procesna promenjiva ponovo smiri.
Nacrtajte pravu tangente na najstrmiji deo krive procesne promenjive.
Nacrtajte horizontalne linije kroz početne i krajnje vrednosti procesne promenjive.
Obeležite gde dve horizontalne linije presecaju tangentu u tačkama 2 i 3.
Snimite mrtvo vreme D od tačke 1 do tačke 2 i vreme procesa Tp od tačke 2 do tačke 4.
Snimite promenu u procesnoj promenjivoj od tačke 3 do tačke 4, zatim to podelite sa B kako biste dobili proporcionalno dejstvo procesa Kp.

Jednom kada se ponašanje procesa okarakteriše u smislu parametara procesa – proporcionalnog dejstva procesa Kp, konstante vremena procesa Tp, i mrtvog vremena D – podešavanje regulatora je jednostavno. Samo ubacite ove vrednosti i korisnički izbor λ vrednosti u formuli prikazanoj u “pravilu lambda podešavanja” će dati zahtevane vrednosti za PI parametre Kc i Ti.

Smatrajte da su proporcionalno dejstvo otvorene veze Kp, vremenska konstanta Tp, i mrtvo vreme D odrđeni upravljačkim signalom ili upravljačkim izlazom CO(t) iz PI regulatora dati pomoću:

gde je

greška u trenutku t izmeñu promenjive procesa PV(t) i željene vrednosti SP(t). Pravilo lambda podešavanja se poziva na:

sa ciljem da postigne sistem zatvorene povratne sprege sa neoscilatornim odzivom željene vrednosti koja će da se smiri u približno 4λ sekunde.

Treba uočiti da ova pravila podešavanja zahtevaju od korisnika da specificira samo jedan parametar performansi: λ. Ovo ne samo da pojednostavljuje proračun za Kc i Ti, već takođe dopušta korisniku da odabere željene performanse regulatora u smislu fizički značajnih veličina – vremena potrebnog da dođe do promene željene vrednosti – kao suprotnost manje intuitivnom konceptu proporcionalnog opsega i vremena resetovanja.

Performanse zatvorene povratne sprege
Jednom podešen PI regulator će, teorijski, završavati promenu željene vrednosti za oko 4λ sekunde kada radi u režimu zatvorene povratne sprege i radiće to bez ikakvog preskoka. Ovo će da vodi procesnu promenjivu do željene vrednosti postepeno i garantovaće da će greška izmeñu procesne promenjive i željene vrednosti vremenom iščeznuti.

Ova karakteristika prigušenja može posebno biti od koristi u primenama gde promenjiva procesa mora da se održava u blizini neke ograničavajuće vrednosti koju data promenjiva ne sme da prekorači. Regulator neće nikada slučajno promeniti te granice zato što nikada neće odvesti procesnu promenjivu daleko od željene vrednosti. Niti će lambda podešeni regulator ikada uzrokovati nestabilne oscilacije u procesnoj promenjivoj, zbog toga što nikada neće imati potrebu da promeni kurs kada doñe do promene željene vrednosti. Procesna promenjiva će uvek ostati stabilno gore ili stabilno dole dok se ne dostigne nova željena vrednost.
Prigušenje takođe pomaže da se obezbedi konzistentnost, zbog čega je lambda podešavanje postalo posebno popularno u proizvodnji paprira gde fluktuacije u procesnoj promenjivoj mogu da prouzrokuju vidljive nepravilnosti u finalnom proizvodu. Odsustvo preskoka takođe štiti interagujuću spregu u mašini za proizvodnju papira od treskanja opreme do njenog kraja, tako što uzrokuje da aktuatori osciluju svi od jednom. I pojedinačni aktuatori (pogotovo ventili) će biti manje problematični, pošto se od njih nikada neće zahtevati da promene kurs dok željena vrednost to ne učini.

Koordinisanje više sprega

Međutim, kako lambda podešavanje dopušta PI regulatoru da postigne svoj cilj preko intervala specificiranog od strane korisnika, ono može da se koristi za sinhronizaciju svih regulatora u radu više sprega, tako da će se procesne promenjive pomerati istom brzinom. Ovo takoñe doprinosi uniformnosti u procesu pravljenja papira. To takođe pomaže pri održavanju konstantnog odnosa sastojaka tokom operacije mešanja.

Suprotno, kada su date sprege koje interaguju važnije od drugih, najkritičnijim se može dodati manja vrednost λ kako bi se obezbedilo da one ostanu izvan za najkraći mogući interval koji prati promenu željene vrednosti. Sprege koje manje doprinose celokupnoj profitabilnosti rada i sprege koje imaju sporije ili slabije aktuatore mogu da rade sa većim vrednostima λ.

Korišćenjem visoko različitih lambda vrednosti u slučaju dve interagujuće sprege, takođe može da se pomogne pri njihovom razdvajanju. Brža sprega će da postigne malo ili nikakav efekat u odnosu na sporiju, jer će delovati manje ili više stacionarno za vreme intervala postizanja promene željene vrednosti. Nasuprot tome, brža sprega će da završi svoj posao za vreme dok je sporija tek u toku svog rada. Razdvajanje neće biti okončano, ali interakcija između sprega će biti ublažena bar malo, redukujući opterećenje koje bi uzrokovala jedna u odnosu na drugu.

Manje očigledna prednost lambda podešavanja je robustnost. Regulator sa lambda podešavanjem je, u principu, vrlo konzervativan i on može da postigne značajnu razliku izmeñu procenjene i stvarne vrednosti procesnih parametara. Rezultirajuća distorzija u proračunatim PI parametrima može da utiče da regulator bude manje ili više konzervativan ukoliko je podešavanje izvršeno korišćenjem savršenog znanja o ponašanju procesa.

Nedostaci

S druge strane, lambda podešavanje ima svoja ograničenja, naročito u pogledu brzine. Ono teži da učini spor proces sporijim. Specifično, λ je uopšteno pridodata vrednost izmeñu Tp i 3Tp, koja čini odziv zatvorne povratne sprege u odnosu na promenu željene vrednosti do 3 puta dužim, nego što je slučaj sa analognim odskočnim odzivom u slučaju otvorene sprege. Za značajne vrednosti mrtvog vremena D potrebne su veće vrednosti λ. U takvom slučaju, λ > D je praktično donja granica, pošto od regulatora ne može da se očekuje da reaguje brže, nego što mrtvo vreme dopušta.
Međutim, najizazovniji nedostatak lambdapodešenog regulatora jeste njegova ograničena sposobnost da radi sa spoljašnjim opterećenjem procesa. On još uvek može da vrati procesnu promenjivu na željenu vrednost, ukoliko slučajno opterećenje poremeti procesnu promenjivu, ali to nikako neće biti brzo i efikasno. Čak ni merenje poremećaja neće pomoći zato što pravilo lambda podešavanja ne obećava kada je u pitanju ponašanje opterećenja.

Najbolja stvar koju korisnik može da uradi jeste da podesi λ na što je moguće manju vrednost, sa ciljem da poveća brzinu regulatora. Međutim, čineći to, regulator će postajati manje robustan. Uopšteno, lambda podešavanje nije dobar izbor tamo gde je potreban brz odziv.

Matematički izazovi

Takođe postoje neka prikladna ograničenja vezana za lambda podešavanje koja su pohranjena duboko u njegovoj matematici. Za neke, ovo podešavanje ne može da se primeni za procese koji su sami po sebi oscilatornog tipa. Ukoliko test ispupčenja za otvorenu spregu vodi u odskočni odziv koji fluktuira pre nego što se smiri, proces ne može u potpunosti da se okarakteriše korišćenjem 3 parametra Kp, Tp i D i regulatore ne može da bude podešen korišćenjem lambda pravila.
Matematika je takođe podeljena po pitanju mrtvog vremena D i to naročito kada je ono veliko. Proračuni koji su potrebni za izračunavanje Kc i Ti zahtevaju približne vrednosti koje su manje tačne kako D raste. Nekoliko alternativnih pristupa je bilo predloženo sa ciljem da se unapredi tačnost izračunavanja približne vrednosti. Oni svi postižu približne performanse zatvorene sprege i ništa više. Neki od pristupa se primenjuju na PI regulatore, dok se drugi primenjuju na PID regulatore.

Pravilo lambda podešavanja takoñe se oslanja na različite oblike procesa integraljenja koji nema nikakva vremenska ograničenja. Ovo se javlja u primenama kao što su upravljanje nivoom. Lambda regulator može da tera integralni proces da dostigne stabilno stanje, ali zahteva više vremena za smirivanje procesne promenjive – oko 6 λ sekundi i procesna promenjiva će preskočiti željenu vrednost na tom putu.

Ipak, lambda podešavanje je relativno jednostavno, intuitivno i dokazivo. Ono će, bez sumnje, ostati popularno gde se zahteva konzervativni regulator.

Za više informacija o PID regulatorima i njihovom podešavanju, pogledajte:

The post Osnove Lambda podešavanja PI regulatora appeared first on Automatika.rs.

Osnove PID regulatora

Marko Nikolić — Mon, 23 Jan 2012 00:00:00 +0000

Svaki sistem automatskog upravljanja se odlikuje određenim zakonom ili zakonima upravljanja. Zakon upravljanja predstavlja matematičku zavisnost na osnovu koje upravljački uređaj obrađuje relevantne signale i generiše odgovarajuća upravljačka dejstva. Najčešća forma ovakvih upravljačkih uređaja se naziva regulator.

Kod osnovnih zakona upravljanja njihovo dejstvo može linearno zavisiti od greške, njenog integrala ili prvog izvoda greške po vremenu. Na osnovu ove činjenice sledi podela regulatora na proporcionalni, integralni i diferencijalni regulator. Pomoću navedenih osnovnih regulatora moguće je formirati složenije oblike regulatora o kojima će biti više reči u nastavku teksta. Bez odzira na tip regulatora i način njegove realizacije, osnovni zahtevi za regulaciju sistema su: stabilnost, tačnost i brzina odziva.

Osnovni algoritam PID regulatora

PID regulator ima tri podesiva parametra: pojačanje Kp, integralnu vremensku konstantu Ti i konstantu diferenciranja Td. Prisustvo proporcionalnog, integralnog i diferencijalnog dejstva u ovom regulatoru omugućuje dobijanje željenih performansi kao što su: stabilnost, brzina reagovanja, tačnost rada i vreme trajanja prelaznog procesa. Na slici br.1 možete videti blok šemu PID regulatora, na slici br.2 je prikazana jednačina koja opisuje upravljanje PID regulatora, dok je na slici br.3 je prikazano delovanje PID regulatora.

Slika br.1 Blok šema PID regulatora.

u(t)=K_p+K_i\int_0^te(t)dt+K_d\frac{de(t)}{dt}=K_p(e(t)+\frac{1}{T_i}\int_0^te(t)dt+T_d\frac{de(t)}{dt})

Slika br.2 Jednačina PID regulatora.

Slika br3. Delovanje PID regulatora.

Proporcionalno dejstvo (P regulator)

P regulator predstavlja najjednostavniji tip regulatora koji se opisuje jednačinom:

u(t)=K_p*e(t)

gde Kp predstavlja faktor proporcionalnog dejstva ili pojačanje regulatora, a e(t) signal greške.

Svaki proporcionalni regulator se odlikuje svojim proporcionalnim područjem koje se definiše kao potrebna procentualna promena ulazne veličine da bi se izlazna veličina promenila za 100%. Proporcionalno područje se može definisati i kao recipročna vrednost pojačanja Kp (%). Povećanjem pojačanja Kp, odnosno smanjenjem proporcionalnog područja, se konstantno odstupanje upravljane promenljive, od njene zadate vrednosti, smanjuje. U isto vreme se povećava brzina reagovanja i smanjuje pretek stabilnosti sistema. Na slici br.4 je prikazano delovanje P regulatora u(t) ako se na njegov ulaz dovodi signal greške e(t) u obliku jednačine odskočne funkcije.

Slika br.4 Delovanje P regulatora.

Integralno dejstvo (I regulator)

I regulator se opisuje jednačinom:

u(t)=K_i\int_0^te(t)dt

koja proporcionalno povezuje grešku e(t) sa brzinom promene upravljačke promenljive u(t). Recipročna vrednost pojačanja Ki je konstanta Ti i predstavlja vreme integralnog dejstva (vreme integraljenja).

K_i=\frac{1}{T_i}

Uvođenjem integralnog regulatora se povećava inertnost sistema, odnosno, sistem sporije reaguje na spoljne uticaje, ali zato u većini slučajeva trajno otklanja grešku rada sistema u stacionarnom stanju. Negativna osobina ovog tipa regulatora je i destabilizujuće dejstvo u sistemu usled njemu svojstvenog kašnjenja. Na slici br.5 je prikazano delovanje I regulatora, ako se na njegov ulaz dovodi signal greške e(t) u obliku jedinične odskočne funkcije.

Slika br.5 Delovanje I regulatora.

Diferencijalno dejstvo (D regulator)

D regulator opisuje jednačina:

$u(t)=K_d\frac{de(t)}{dt}$

Samostalno postojanje diferencijalnog regulatora nema mnogo smisla, jer je u ustaljenom režimu rada signal greške konstantan, te je izvod ovog signala jednak nuli. Zbog osobine da je promenljiva u(t) proporcionalna brzini promene (prvom izvodu) greške u vremenu vidi se da bi D regulator reagovao samo na brze promene dok spore i dugotrajne promene ne bi prouzrokovale nikakvo dejstvo ovog regulatora.

Kombinovanjem sa P i/ili I regulatorom, ovaj regulator dobija na značaju, posebno u prelaznom režimu rada sistema. Njegovo postojanje omogućava bolje praćenje dinamike sistema, jer se njime prati veličina promene greške, a ne samo njena apsolutna vrednost. Uvođenjem diferencijalnog regulatora se povećava stabilnost i brzina reagovanja sistema.

Proporcionalno-integralni regulator (PI regulator)

Kombinacijom proporcionalnog i integralnog dejstva dobijamo PI regulator koji sadrži neke prednosti ovih dejstava. Upravljanje PI regulatorom opisano je sledećom jednačinom:

$u(t)=K_pe(t)+K_i\int_0^te(t)dt$

Ako se na ulazu PI regulatora pojavi signal u obliku odskočne funkcije proporcionalni član će trenutno postaviti izlaz u(t) na vrednost Kp, a pod uticajem integralnog člana će u(t) nastaviti da raste linearno i u trenutku Ti će vrednost izlaza u(t) biti jednaka 2Kp. Na osnovu slike br.6 i jednačine PI regulatora se vidi da mora biti Ki*Ti=Kp, gde je Ti vremenska konstanta integracije. Drugim rečima, vreme integracije je vreme potrebno da se u(t) pod uticajem integralnog člana promeni za onu vrednost za koju se pod dejstvom proporcionalnog člana skokovito promenilo.

Slika br.6 Delovanje PI regulatora.

Iz izraza za PI regulator se vidi da postoje dva podesiva parametra Kp i Ti. Pojačanje Kp u odsustvu integralnog dejstva predstavlja promenu u(t) za jediničnu promenu greške e(t). Podešavanje integralnog dejstva se vrši integralnom vremenskom konstantom Ti. U slučaju velikog proporcionalnog područja se pojavljuju spore oscilacije sa velikim amplitudama, a one su posledica smanjene brzine reagovanja usled integralnog dejstva.

Proporcijalno-diferencijalni regulator (PD regulator)

PD regulator je opisan sledećom jednačinom:

$u(t)=K_pe(t)+K_d\frac{de(t)}{dt}$

koja se može svesti na prikladniji oblik uvođenjem pojma derivacijskog vremena prema slici br.7.

Slika br.7 Delovanje PD regulaora.

Pošto se radi o derivacijskom dejstvu pogodno je posmatrati poremećaj e(t) u obliku nagibne funkcije (neka bude jedinična nagibna funkcija radi jednostavnijeg objašnjenja). Ako se na ulaz PD regulatora dovodi nagibni signal tada treba da prođe vreme derivacije ili vremenska konstanta derivacije Td da bi se izlaz iz regulatora u(t) pod dejstvom proporcionalnog člana promenio za vrednost Kd za koju se u početku skokovito promenio pod dejstvom diferencijalnog člana. Drugim rečima, posle vremena Td vrednost upravljanja u(t) će biti 2Kd (a u trenutku t=0 je bilo u(t)=Kd), što daje vezu između Kp i Kd: Kd=KpTd ⇒ Kp=Kd/Td. Sada se predhodni izraz može napisati u obliku:

$u(t)=K_p(e(t)+T_d\frac{de(t)}{dt})$

Pošto se PD upravljanje ne može definisati na osnovu odskočne promene greške e(t), jer je izvod odskočne funkcije u trenutku promene jednak beskonačnosti, onda se prema gore navedenom koristi linearna promena greške e(t)=E•t. Tada upravljački zakon PD regulatora ima oblik:

$u(t)=K_p*E(t+T_d)$

Iz ove jednačine se vidi da je za grešku e(t₀)=E⋅t₀ zadatu u trenutku t₀, upravljačka promenljiva proporcionalna sa E•(t+Td), tj. sa greškom u trenutku (t+Td). Dakle, postoji efekat pomeranja upravljačkog signala unapred u vremenu za iznos Td, te se ova konstanta naziva još i konstanta prednjačenja. Prema tome, konstanta Td se definiše kao vremenski interval za koji diferencijalno dejstvo prednjači u vremenu, u odnosu na proporcionalno dejstvo, uz linearnu promenu greške.

Tekst je preuzet iz skripte prof. dr Dušana Petrovačkog za predmet Sistemi automatskog upravljanja. Dalja objašnjenja pojmova korišćenih u ovom tekstu možete naći u pomenutoj skripti.

The post Osnove PID regulatora appeared first on Automatika.rs.